Подбрасывают монету. Если выпал орёл с первого раза, вы получаете 2 рубля. Если орёл выпал со второго, 4. С третьего — 8, и так далее, выигрыш удваивается. Сколько вы заплатили бы за право сыграть? Математическое ожидание выигрыша равно сумме 1 + 1 + 1 + ... и бесконечно. Но обычно люди соглашаются отдать несколько рублей. Это петербургский парадокс, названный так потому, что обсуждался в Петербургской академии наук.

Идея Бернулли

В 1738 году Даниил Бернулли предложил выход. Люди оценивают не деньги, а их полезность, и полезность растёт медленнее, чем сумма: лишняя тысяча рублей для бедного значит больше, чем для миллионера. Значит, ценность выигрыша считают как «ожидаемую полезность», где каждый возможный исход взвешен вероятностью, а полезность убывает с ростом богатства. Этим же Бернулли объяснил, почему мы страхуемся: потеря значительной суммы чувствуется сильнее, чем вдвое меньшая сумма, и платить небольшую плату за уверенность разумно.

Аксиомы фон Неймана и Моргенштерна

В 1944 году математик Джон фон Нейман и экономист Оскар Моргенштерн в книге о теории игр показали, что если предпочтения человека подчиняются нескольким разумным правилам, то его можно описать как максимизирующего ожидаемую полезность. Правила таковы: сравнимость вариантов, транзитивность (если A лучше B, а B лучше C, то A лучше C), непрерывность и независимость. Тем самым «разумный» выбор получил точное определение, а теория стала основой современной экономики, теории игр, страхования и принятия решений в условиях риска.

Парадоксы

Однако люди часто нарушают эти правила. Морис Алле в 1953 году предложил пары лотерей. В первой выбор между гарантированным миллионом и вариантом: 89% — миллион, 10% — пять миллионов, 1% — ничего. Большинство выбирает гарантию. Во второй: 11% на миллион против 10% на пять миллионов. Большинство выбирает второй. Но если считать по теории, второй выбор противоречит первому, так как обе пары отличаются одним и тем же общим компонентом. Выходит, что гарантия притягивает сильнее, чем следует по расчёту. Дэниел Эллсберг в 1961 году показал, что люди не любят неопределённость сверх риска: предпочитают известные вероятности неизвестным.

Что дальше

Эти парадоксы подтолкнули Канемана и Тверски к теории перспектив (см. «Неприятие потерь»). Теория полезности остаётся нормативным ориентиром: как стоило бы рассуждать, если вы хотите быть последовательным. А вот как люди рассуждают на самом деле, описывают другие модели. Сегодня говорят, что теория не ошибочна, а применима с оговорками: полезность не всегда измеряется деньгами, а предпочтения бывают нестабильными.